FISIKA: ARTICULO DE LA UNIDAD#2

ARTICULO#2

OPERACIONES CON VECTORES

Suma de vectores

Para sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

Método del paralelogramo

Método del triángulo o método poligonal

Este método permite solamente sumar vectores de dos en dos. Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en un punto, trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del otro y de igual longitud, formando así un paralelogramo (ver gráfico). El vector resultado de la suma es la diagonal de dicho paralelogramo que parte del origen común de ambos vectores.

Método analítico para la suma y diferencia de vectores

Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro, ordenadamente: el origen de cada uno de los vectores coincidirá con el extremo del siguiente. El vector resultante es aquel cuyo origen coincide con el del primer vector y termina en el extremo del último.

Dados dos vectores libres,

$\mathbf{a} = (a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k})$

$\mathbf{b} = (b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k})$

El resultado de su suma o de su diferencia se expresa en la forma

$\mathbf{a} \pm \mathbf{b} = (a_x \mathbf{i} +a_y \mathbf{j} +a_z \mathbf{k}) \pm (b_x \mathbf{i} +b_y \mathbf{j} +b_z \mathbf{k})$

y ordenando las componentes,

$\mathbf{a} \pm \mathbf{b} = (a_x \pm b_x) \mathbf{i} + (a_y \pm b_y) \mathbf{j} + (a_z \pm b_z)\mathbf{k}$

Con la notación matricial sería

$\mathbf{a} \pm \mathbf{b} = \begin{bmatrix} a_x\\ a_y\\ a_z\\\end{bmatrix} \pm \begin{bmatrix} b_x\\ b_y\\ b_z\\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_x\pm b_x\\ a_y\pm b_y\\ a_z\pm bz\\\end{bmatrix}$

Conocidos los módulos de dos vectores dados, $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ , así como el ángulo $\theta$ que forman entre sí, el módulo de $\mathbf{a} \pm \mathbf{b}$ es:

$|\mathbf{a} \pm \mathbf{b}| = \sqrt{a^2 + b^2 \pm 2ab \cos \theta} \le \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos \theta}$

La deducción de esta expresión puede consultarse en deducción del módulo de la suma.

ARTICULO#2

VECTOR UNITARIO

En álgebra lineal y Física, un vector unitario o vector es un vector de módulo uno.

En ocasiones se le llama también vector normalizado.

Habiendo definido el concepto de vector unitario al comienzo de este artículo y habiendo presentado la notación usual en la sección anterior, presentamos en esta sección una definición simbólica de vector unitario.

Sea el vector v ∈ ℝⁿ. Se dice que v es un vector unitario y se lo denota mediante $\mathbf{\hat v}$ si y solamente si el módulo de v es igual a 1.

O en forma más compacta:

$\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n \Rightarrow \mathbf{v} \equiv \mathbf{\hat v} \Leftrightarrow | \mathbf{v} | = 1$

Vector asociado a un vector

Con frecuencia resulta conveniente disponer de un vector unitario que tenga la misma dirección que un vector dado $\mathbf v\,$ . A tal vector se le llama versor asociado al vector $\mathbf v\,$ y se puede representar bien sea por $\hat\mathbf v\,$ o por $\mathbf u_v\,$ e indica una dirección en el espacio.

La operación que permite hallar $\hat\mathbf v\,$ es la división del vector entre su módulo.

$\mathbf{\hat v} = \frac{\vec\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$

Al proceso de obtener un vector asociado a un vector se le conoce como normalización del vector, razón por la cual es común referirse a un vector unitario como vector normalizado.

El método para transformar una base ortogonal (obtenida, por ejemplo mediante el método de ortogonalización de Gram-Schmidt) en una base ortonormal (es decir, una base en la que todos los vectores son versores) consiste simplemente en normalizar todos los vectores de la base utilizando la ecuación anterior.

Producto escalar de dos vectores

En el espacio euclídeo, el producto escalar de dos vectores unitarios es simplemente el coseno del ángulo entre ellos. Esto es consecuencia de la definición de producto escalar y del hecho de que el módulo de ambos vectores es la unidad:

$\mathbf{\hat u} \cdot \mathbf{\hat v} = | \mathbf{\hat u} | | \mathbf{\hat v} | \cos \theta$

Pero:

$| \mathbf{\hat u} | = | \mathbf{\hat v} | = 1$

Por lo tanto:

$\mathbf{\hat u} \cdot \mathbf{\hat v} = \cos \theta$

donde θ es el ángulo entre ambos vectores.

Proyección escalar

De lo anterior, resulta que el producto de un vector por un vector (o vector unitario) es la proyección escalar del vector sobre la dirección determinada por el vector.

$\mathbf F \cdot \mathbf{\hat n} = | \mathbf F | | \mathbf{\hat n} | \cos \theta$

Como el módulo del vector $\mathbf{\hat n}$ es la unidad, la ecuación anterior se transforma en:

$\mathbf F \cdot \mathbf{\hat n} = | \mathbf F | \cos \theta$

de donde es evidente lo afirmado al comienzo de este apartado.

Este resultado es muy frecuente en física, donde en necesario operar, por ejemplo, con las componentes ortogonales a una superficie.

Vectores cartesianos

Los vectores asociados con las direcciones de los ejes coordenados cartesianos $x,\,y,\,z\,$ se designan por $\mathbf i,\,\mathbf j,\,\mathbf k\,$ , respectivamente.